روش تحلیلی جدید برای مطالعه جریان همرفت طبیعی از یک سیال غیر نیوتنی

روش تحلیلی جدید برای مطالعه جریان همرفت طبیعی از یک سیال غیر نیوتنی
امتیاز دهی به نوشته ها

روش تحلیلی جدید برای مطالعه جریان همرفت طبیعی از یک سیال غیر نیوتنی

چکیده– هدف از این مقاله بحث کردن جریان همرفت طبیعی یک سیال کلاس سوم تراکم ناپذیر بین دو صفحه موازی است. معادلات اساسی حاکم بر جریان به یک معادله دیفرانسیل معمولی غیر خطی کاهش می یابند.

طراحی/روش/رویکرد– معادله دیفرانسیل معمولی غیر خطی به وسیله روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای (MDTM) حل می شود.

یافته ها– راه حل های به دست آمده در مقایسه با راه حل های عددی (رانگ کوتا مرتبه چهارم) دقت قابل توجهی را اعطا می کنند.

ارزش و بها– تجزیه و تحلیل انجام شده اعتبار و پتانسیل بالای MDTM در حل معادلات دیفرانسیل غیر خطی را نشان می دهد.

کلمات کلیدی– معادلات دیفرانسیل، جابجایی، سیالات، جریان، جابجایی طبیعی، سیال غیر نیوتنی، روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای.

1- مقدمه

مطالعه معادلات دیفرانسیل عادی / جزئی غیرخطی، امروزه بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است. چنین معادلات در مشکلات فیزیکی مختلف مهندسی رخ می دهد. اهمیت به دست آوردن راه حل دقیق یا تقریبی معادلات دیفرانسیل غیرخطی در فیزیک و ریاضیات هنوز نیاز به چالش کشیدن دارد که نیازمند روشهای جدید برای راه حل دقیق یا تقریبی است. تمام معادلات غیر خطی یک راه حل دقیق تحلیلی ندارند و از این رو روش های عددی برای رسیدگی به چنین معادلات به طور گسترده ای مورد استفاده قرار گرفته اند.  همچنین برخی از روش های تحلیلی برای معادلات غیر خطی وجود دارد. بعضی از روش های تحلیلی کلاسیک روش پارامترهای مصنوعی مصنوعی لیائپونوف (Lyapunov، 1990)، تکنیک های اختلال (He، 1999) و روش گسترش (Karmishin et al.، 1990( است. در سال های اخیر بسیاری از نویسندگان به طور عمده با استفاده از روش های مختلف به مطالعه راه حل های معادلات دیفرانسیل غیرخطی با استفاده از روش های مختلف پرداختند. از جمله روش تجزیه Adomian (ADM)، روش تان، روش متلاشیم سازی هماتوپی (HPM)، روش sinh-kosh، روش تجزیه و تحلیل هماتوپی (HAM) (Rashidi and Dinarvand، 2009؛ Rashidi et al.، 2011؛ Ellahi، 2009) ، روش تبدیل دیفرانسیل (DEM) (Rashidi و Keimanesh، 2010؛ Rashidi et al.، 2010؛ Rashidi، 2009) و روش تکرار واریانس (VIM) (او، 1997؛ رشیدی و شاه مقصندی، 2009).

بنابراین انگیزه این مقاله، استفاده از الگوریتم قابل اعتماد DTM، یعنی multi-step differential transform method ، برای ساخت راه حل های تقریبی تحلیلی جریان همرفت طبیعی کلاس سوم بین دو صفحه موازی است. اخیرا توجه زیادی به مطالعه سیالات غیر نیوتنی به دلیل اهمیت عملی آنها در مهندسی و صنعت صورت گرفته است. معادلات Navier-Stokes کلاسیک برای توصیف و ترسیم خصوصیات سیال های رئوئیک پیچیده و نیز راه حل های پلیمری ناکافی است (Dunn and Rajagopal، 1995). این نوع سیالات به طور کلی سیالات غیر نیوتنی شناخته می شوند. اکثر سیالات بیولوژیکی و صنعتی غیر طبیعی، نیوتنی هستند. نمونه هایی از این سیالات عبارتند از: خون، سس گوجه فرنگی، عسل، گل و لای، محلول های پلاستیکی و پلیمری. ناکافی بودن نظریه های کلاسیک برای توصیف این سیالات پیچیده منجر به توسعه مدل های مختلف جدید برای مطالعه سیالات غیر نیوتنی شده است. مدل های مختلفی وجود دارد که برای توصیف رفتار جریان غیر نیوتنی پیشنهاد شده است. از میان این ها، مدل های سیالات نوع دیفرانسیلی (Dunn and Rajagopal، 1995؛ Truesdell and Noll، 2004) توجه زیادی را به خود جلب کرده اند. سیال درجه سوم در این مطالعه، یک زیر بخش از سیالات دیفرانسیل است که می تواند اثرات رقیق یا غلیظ شدن را توصیف کند. Ellahi and Riaz (2010) تاثیر دینامیک هیدروژنی مغناطیسی (MHD) بر جریان لوله یک سیال درجه سوم با ویسکوزیته متغیر را بررسی کردند. تاثیر ویسکوزیته متغیر و از بین رفتن چسبندگی بر جریان غیر نیوتنی در محیط متخلخل با استفاده از قانون Darcy اصلاح شده توسط Hayat و همکاران مورد بحث قرار گرفته است. Okoya جریان سیال درجه سوم (با ویسکوزیته نمایشی) را بین صفحات موازی تحت عمل گرادیان فشار خارجی اعمال کرد (Okoya، 2011). Yu¨ru¨soy et al (2008) حالت جریان مداوم یک سیال درجه سوم را بین سیلندرهای دایره ای متمرکز در نظر گرفت. آنها به دلیل اصطکاک سیال و انتقال حرارت در لوله حلقوی، آنتروپی را مورد بررسی قرار دادند. Pakdemirli و Yilbas (2006) جریان سیال درجه سوم در یک لوله را در نظر گرفتند. Ayub و همکاران (2003)، جریان سیالات درجه سوم از یک صفحه متخلخل را در نظر گرفتند. انتقال حرارتی در جریان واکنشی سیال درجه سوم با گرمایش ویسکوزیته و واکنش شیمیایی بین دو صفحه افقی مسطح توسط Okoya (2008) مورد بررسی قرار گرفت. Akyildiz و همکاران 2004 راه حل های دقیق برای معادلات دیفرانسیل غیرخطی سیال درجه سوم را تهیه کردند. پایداری حرارتی سیال درجه سوم واکنش پذیر در لوله استوانه ای توسط Makinde (2007) بررسی شده است. Sahoo (2009) جریان Hiemenz یک سیال درجه سوم را در حضور انتقال حرارت بررسی کرد. اولین مشکل بزرگ اساسی برای سیال درجه سوم در یک فضای متخلخل توسط Hayat و همکاران مورد مطالعه قرار گرفته است. (2008). نویسندگان قانون اصلاح شده Darcy را برای سیال درجه سوم در این کار معرفی کردند. Abelman و همکاران (2008) جریان جابجایی سیال درجه سوم در فضای متخلخل را مورد بحث قرار دادند. Hayat و همکاران، راه حل دقیق برای جریان سیال درجه سوم در یک دیوار متخلخل ارائه دادند. (2003).

2- مفاهیم پایه روش تبدیل دیفرانسیل روش تحلیلی جدید برای مطالعه جریان همرفت طبیعی از یک سیال غیر نیوتنی

تبدیل مشتق k به یک تابع در یک متغیر به صورت زیر است:

و تبدیل معکوس بصورت زیر تعریف شده است:

با جاگذاری معادله 1 در 2:

که به این معنی است که مفهوم روش تبدیل دیفرانسیل حاصل از گسترش سری تیلور است، اما این روش مشتقات را به طور نمایشی محاسبه نمی کند. با این حال، مشتقات نسبی با روش تکراری محاسبه می شود که توسط معادلات تبدیل شده از تابع اصلی توصیف می شوند. برای اهداف پیاده سازی، تابع f (t) توسط یک سری محدودی بیان می شود و معادله (2) می تواند به صورت زیر نوشته شود:

که F(k) تبدیل دیفرانسیلی f(t) است.

قضیه زیر که می تواند از معادلات (21) و (22) حاصل شود، در زیر آمده است:

3- مفاهیم پایه روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای

هنگامی که روش تبدیل دیفرانسیل برای حل معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی در بی نهایت و یا مشکلات بسیار رفتار غیر خطی استفاده می شود، نتایج به دست آمده اشتباه است (زمانی که متغیر لایه مرزی به بی نهایت می رسد، راه حل های سری به دست آمده واگرا هستند). علاوه بر این، سری قدرت برای مقادیر بزرگ متغیر مستقل مفید نیست.

برای غلبه بر این نقص، روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای در این بخش ارائه شده است که برای حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل توسعه یافته است. برای این منظور، مسئله اولیه اولیه غیر خطی در نظر گرفته شده است:

با توجه به شرایط اولیه  برای .

[0، T] فاصله ای است که ما می خواهیم راه حلی برای مسئله ارزش اولیه معادله (5) پیدا کنیم. در برنامه های کاربردی واقعی روش تبدیل دیفرانسیل ، حل تقریبی مسئله مقدار اولیه (5) را می توان با سری های محدود بیان کرد:

رویکرد چند مرحله ای یک ایده جدید برای ساختن راه حل تقریبی ارائه می دهد. فرض کنید که فاصله [T، 0] به M زیر مجموعه تقسیم شده است  با گام برابر  با استفاده از گره . ایده اصلی روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای به شرح زیر است. ابتدا روش تبدیل دیفرانسیل را به معادله (5) در فاصله [t1،0] اعمال کنیم و راه حل تقریبی زیر را بدست آوریم:

با شرایط اولیه . برای و در هر زیرمجموعه ما از شرایط اولیه  استفاده خواهیم کرد و روش تبدیل دیفرانسیل را به معادله (5) در طول فاصله اعمال کنیم؛ که  در معادله (1) توسط  جایگزین می شود. این فرآیند تکرار می شود و یک دنباله ای از راه حل های تقریبی تولید می کند  برای راه حل :

که . در حقیقت روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای به شکل زیر فرض می شود:

الگوریتم جدید روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای برای عملکرد محاسباتی برای تمام مقادیر h ساده است. به راحتی مشاهده می شود که  ، اگر اندازه گام از روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای به روش تبدیل دیفرانسیلکلاسیک کاهش یابد. همانطور که در بخش بعد مشاهده خواهیم کرد، مزیت اصلی الگوریتم جدید این است که راه حل مجموعه ای به دست آمده برای مناطق زمانی گسترده همگرایی می کند و می تواند راه حل های منظم و نامنظم باشد.

4- فرمول بندی ریاضی روش تحلیلی جدید برای مطالعه جریان همرفت طبیعی از یک سیال غیر نیوتنی

ساختار جریان کامل حالت حالت پایدار توسعه یافته سیال غیر متراکم  درجه سوم محدود بین دو صفحه موازی در این مقاله مورد بررسی قرار گرفته است. سرعت جریان یک طرفه به صورت زیر است:

که در آن  V سرعت است، u و i به ترتیب سرعت و واحد بردار موازی با محور x هستند. معادلات حرکت و انرژی به شکل زیر است:

که معادلات اتصال یکسان است، و مصرف مواد قابل احتراق و اثر حرارت تابشی غفلت می شود. متغیرهای بدون مقدار به صورت زیر تعریف می شوند:

که C گرمای ویژه سیال است. شکل غیرمستقیم معادلات (11) و (12) عبارتند از:

با شرایط مرزی زیر:

مدل فیزیکی مساله در شکل 1 نشان داده شده است. این شامل دو صفحه مسطح است که می تواند به صورت عمودی قرار گیرد. سیال غیر نیوتنی بین دو ورق مسطح فاصله 2b است. دیواره های  و  در درجه حرارت ثابت T2 و T1، که در آن  ، نگهداری می شوند. این تفاوت در دمای باعث می شود که سیالات در نزدیکی دیواره در افزایش یابد و سیالات در نزدیکی دیوار در سقوط کنند.

شکل 1- نمودار مختصری از مسئله مورد نظر

5- راه حل های تحلیلی توسط روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای

با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای به معادلات (11) و (12) رابطه بازگشتی زیر را در هر زیر دامنه  بیان می کند.

که و تبدیل دیفرانسیل و هستند.

انتقال دیفرانسیل شرایط مرزی (16) و (17) به شرح زیر است:

ما می توانیم شرایط مرزی زیر را در نظر بگیریم (معادلات 16 و 17):

تغییر دیفرانسیلی شرایط فوق به صورت زیر خواهد بود:

علاوه بر این، با جاگذاری معادلات (24) و (25) در معادلات (18) و (19) و با روش بازگشتی می توانیم مقادیر دیگر و  را محاسبه کنیم: بنابراین، با جایگزینی تمام و به معادله (4) راه حل ها با استفاده از شرایط مرزی می توانیم را بدست آوریم.

برای راه حل تحلیلی، تجزیه و تحلیل همگرایی انجام می شود و در معادله (4)، مقدار i برابر با 20 انتخاب می شود. ما فاصله زمانی برابر 0.1 را تعیین می کنیم.

6- نتایج و بحث روش تحلیلی جدید برای مطالعه جریان همرفت طبیعی از یک سیال غیر نیوتنی

نگرانی اصلی ما تعیین راه حل های سرعت و درجه حرارت پروفایل، ؛ است که توسط روش تبدیل دیفرانسیل ، روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای و روش عددی با استفاده از رانگ کوتا مرتبه چهارم منظور می شود. این مقادیر رفتار جریان را توصیف می کند.

شکل 1 و 2 دقت راه حل روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای را در مقایسه با روش تبدیل دیفرانسیل کلاسیک و راه حل عددی زمانی که  و مقادیر مختلف E برای و نشان می دهد. مشاهده می شود که و ، هنگامی که عدد Eckert E افزایش می یابد زیاد می شود. اثرات تعداد Prandtl در و در شکل 3 و 4 نشان داده شده است. روشن است که با افزایش تعداد Prandtl، و افزایش می یابد. تغییرات و با توجه به  در شکل 5 و 6 ارائه شده اند.

شکل2- تغییر پروفایل سرعت با توجه به E وقتی که  و .

شکل 3- تغییر پروفایل دما با توجه به E وقتی که  و .

شکل 4- تغییر پروفایل سرعت با توجه به Pr وقتی که  و .

شکل 5- تغییر پروفایل دما با توجه به Pr وقتی که  و .

شکل 6- تغییر پروفایل سرعت با توجه به وقتی که و .

مشاهده می شود که افزایش پارامتر  باعث کاهش در می شود، اما تأثیر معنی داری بر ندارد. برای بررسی تأثیر روش پیشنهادی در مقایسه با روش تبدیل دیفرانسیل و راه حل عددی، مقادیری در جداول 1 و 2 برای مقادیر مختلف پارامتر  ارائه شده است.

 

7- نتیجه گیری

در این مطالعه، یک الگوریتم قابل اعتماد بر اساس روش تبدیل دیفرانسیل برای حل معادلات غیر خطی ارائه شده است. روش حاضر، مشکلات محاسباتی روش های دیگر را کاهش می دهد.

نتایج برای و ؛ در جداول 1و 2 اعتبار و صحت این روش را نشان می دهد. توجه داشته باشید روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای ساده تر از سایر روش ها محاسبه می شود، زیرا در روش تبدیل دیفرانسیل چند مرحله ای ما یک روش تکراری داریم که نیازی به حل معادلات دیفرانسیل یا انتگرال ندارد. در روش های دیگر ما باید در هر پیاده سازی حل معادلات دیفرانسیل را حل کنیم یا معادلات را یکپارچه کنیم (شکل 7).

جدول 1- مقایسه نتایج سرعت بدست آمده وقتی و . و تغییرات متغیر

جدول 2- مقایسه نتایج دما بدست آمده وقتی و . و تغییرات متغیر

شکل 7- شکل 6- تغییر پروفایل دما با توجه به وقتی که 

 

برای دریافت شبیه سازی انجام شده با شماره 09039549884 تماس بگیرید